درسنامه آموزشی فصل هفتم ریاضی کلاس هشتم
درس 2: تقسیم اعداد تواندار
تقسیم دو عدد تواندار با پایههای مساوی
فعّالیت (صفحهٔ 106 کتاب درسی)
دمای مرکز خورشید حدود ${{10}^{7}}$ درجهٔ سانتیگراد است. این دما چند برابر دمایی است که آب در آن به جوش میآید؟
پاسخ را ضمن کامل کردن جاهای خالی به صورت یک عدد تواندار بیان کنید و مراحل حل مسئله را نیز توضیح دهید.
حل: آب در 100 درجهٔ سانتیگراد به جوش میآید و داریم: $100={{10}^{2}}$
${{10}^{5}}$${{10}^{7}}\div {{10}^{2}}=\frac{{{10}^{7}}}{{{10}^{2}}}=\frac{10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10\times 10}{10\times 10}=$
بنابراین: ${{10}^{5}}$${{10}^{7}}\div {{10}^{2}}=$
یعنی دمای مرکز خورشید ${{10}^{5}}$ برابر دمایی است که آب در آن به جوش میآید.
آیا تقسیم بالا را به شکل زیر نیز میتوانیم انجام دهیم؟
${{10}^{5}}$$\frac{{{10}^{7}}}{{{10}^{2}}}=\frac{{{10}^{2}}\times {{10}^{5}}}{{{10}^{2}}}=$
اکنون، حاصل هر یک از تقسیمهای زیر را به صورت یک عدد تواندار بنویسید.
$^{2}$$=(-9)$$\frac{(-9)\times (-9)\times (-9)\times (-9)\times (-9)}{(-9)\times (-9)\times (-9)}$${{(-9)}^{5}}\div {{(-9)}^{3}}=$
$^{4}$$=(\frac{3}{2})$.........................${{(\frac{3}{2})}^{6}}\div {{(\frac{3}{2})}^{2}}=$
با استفاده از نمونههای داده شده برای محاسبهٔ تقسیم دو عدد تواندار با پایههای مساوی قانونی بنویسید.
در تقسیم اعداد تواندار با پایه مساوی: یکی از پایهها را نوشته و توانها را از هم کم میکنیم.
اگر a عددی دلخواه و مخالف صفر و n ،m عددهایی طبیعی باشند:
$^{m-n}$${{a}^{m}}\div {{a}^{n}}=a$
کار در کلاس (صفحهٔ 107 کتاب درسی)
1- حاصل هر یک از عبارتهای زیر را به صورت عددی تواندار بنویسید.
${{8}^{4}}$${{8}^{9}}\div {{8}^{5}}=$
${{3}^{7}}\div {{3}^{3}}={{3}^{4}}$$\frac{{{3}^{7}}}{{{3}^{3}}}=$
${{6}^{2}}$${{6}^{3}}\div 6=$
${{(-\frac{3}{5})}^{3}}$${{(-\frac{3}{5})}^{5}}\div {{(-\frac{3}{5})}^{2}}=$
${{(-2)}^{9}}\div {{(-2)}^{2}}={{(-2)}^{7}}$$\frac{{{(-2)}^{9}}}{{{(-2)}^{2}}}=$
${{(\frac{8}{9})}^{3}}$${{(\frac{8}{9})}^{4}}\div (\frac{8}{9})=$
${{4/5}^{3}}$${{(4/5)}^{6}}\div {{(4/5)}^{3}}=$
${{(-0/3)}^{3}}$${{(-0/3)}^{5}}\div {{(-0/3)}^{2}}=$
${{7}^{5}}\div 7={{7}^{4}}$$\frac{{{7}^{5}}}{7}=$
2- جاهای خالی را با عدد مناسب پر کنید.
$\frac{{{2}^{15}}}{{{({{2}^{3}})}^{5}}}=1$
${{3}^{5}}\div 3={{3}^{4}}$
${{14}^{5}}\div {{(14)}^{2}}={{14}^{3}}$
$\frac{{{7}^{3}}}{{{7}^{5}}}=\frac{{{7}^{3}}}{{{7}^{3}}\times {{7}^{2}}}=\frac{1}{{{7}^{2}}}$
3- حاصل را به صورت یک عبارت تواندار بنویسید.
${{a}^{7}}$${{a}^{12}}\div {{a}^{5}}=$
${{(xy)}^{3}}$${{(xy)}^{7}}\div {{(xy)}^{4}}=$
${{(-x)}^{4}}$${{(-x)}^{7}}\div {{(-x)}^{3}}=$
تقسیم دو عدد تواندار با توانهای مساوی
فعّالیت (صفحهٔ 107 کتاب درسی)
مثالهای داده شده را مطالعه کنید و با پرکردن جاهای خالی توضیح دهید که پاسخ هر یک از تقسیمها چگونه به دست آمده است.
${{12}^{4}}:{{6}^{4}}=\frac{{{12}^{4}}}{{{6}^{4}}}=\frac{12\times 12\times 12\times 12}{6\times 6\times 6\times 6}=\frac{12}{6}\times \frac{12}{6}\times \frac{12}{6}\times \frac{12}{6}={{(\frac{12}{6})}^{4}}={{2}^{4}}$
${{3}^{5}}:{{7}^{5}}=\frac{{{3}^{5}}}{{{7}^{5}}}=\frac{3\times 3\times 3\times 3\times 3}{7\times 7\times 7\times 7\times 7}={{(\frac{3}{7})}^{5}}$
${{(-4)}^{3}}:{{6}^{3}}=\frac{{{(-4)}^{3}}}{{{6}^{3}}}=\frac{(-4)\times (-4)\times (-4)}{6\times 6\times 6}=(\frac{-4}{6})\times (\frac{-4}{6})\times (\frac{-4}{6})={{(\frac{-4}{6})}^{3}}={{(-\frac{2}{3})}^{3}}$
${{12}^{4}}:{{6}^{4}}=\frac{{{12}^{4}}}{{{6}^{4}}}=\frac{{{2}^{4}}{{6}^{4}}}{{{6}^{4}}}={{2}^{4}}$
با توجه به مثالهای صفحهٔ قبل، توضیح دهید تساوی ${{8}^{5}}:{{2}^{5}}={{4}^{5}}$ چگونه به دست آمده است. اکنون، برای تقسیم دو عدد تواندار با توانهای مساوی، قانون زیر را کامل کنید.
در تقسیم اعداددار با توانهای مساوی یکی از توانها را نوشته و پایهها را بر هم تقسیم میکنیم.
به کمک قانونی که نوشتهاید، حاصل تقسیمهای زیر را به صورت عددی تواندار بنویسید.
${{2}^{8}}$${{6}^{8}}\div {{3}^{8}}=$
${{(+\frac{2}{3})}^{4}}$${{(-2)}^{4}}\div {{(-3)}^{4}}=$
اکنون قانون فوق را با نمادهای ریاضی هم نشان دهید.
a و b دو عدد دلخواه و m یک عدد طبیعی و $b\ne 0$ ${{(\frac{a}{b})}^{m}}$${{a}^{m}}\div {{b}^{m}}=$
کار در کلاس (صفحهٔ 108 کتاب درسی)
1- حاصل هر یک از تقسیمهای زیر را به صورت عدد تواندار بنویسید.
${{(\frac{5}{3})}^{7}}$${{5}^{7}}\div {{3}^{7}}=$
${{(\frac{14}{7})}^{3}}={{2}^{3}}$${{14}^{3}}\div {{7}^{3}}=$
${{(\frac{-8}{-2})}^{5}}={{(+4)}^{5}}$${{(-8)}^{5}}\div {{(-2)}^{5}}=$
${{(\frac{9}{27})}^{2}}={{(\frac{1}{3})}^{2}}$${{9}^{2}}\div {{27}^{2}}=$
2- عبارتهای زیر را ساده کنید و در صورت امکان، پاسخ را به صورت عدد تواندار بنویسید.
${{10}^{7}}\times {{3}^{7}}={{30}^{7}}$${{5}^{7}}\times {{3}^{4}}\times {{2}^{7}}\times {{3}^{3}}=$
${{(\frac{2}{3})}^{3}}$${{(\frac{2}{3})}^{8}}\div {{(\frac{2}{3})}^{5}}=$
$\frac{{{30}^{12}}}{{{30}^{10}}}={{30}^{2}}$$\frac{{{30}^{7}}\times {{30}^{5}}}{{{6}^{10}}\times {{5}^{10}}}=$
$\frac{{{a}^{12}}}{{{a}^{3}}}={{a}^{9}}$$\frac{{{({{a}^{3}})}^{4}}}{{{a}^{3}}}=$
$\frac{{{x}^{10}}\times {{x}^{7}}}{{{x}^{11}}}=\frac{{{x}^{17}}}{{{x}^{11}}}={{x}^{6}}$$\frac{{{({{x}^{2}})}^{5}}\times {{x}^{7}}}{{{x}^{11}}}=$
تمرین (صفحهٔ 108 کتاب درسی)
1- هر یک از عددهای زیر را به صورت یک عدد تواندار بنویسید.
${{9}^{2}}={{3}^{4}}$$81=$
${{(-2)}^{3}}$$-8=$
${{2}^{10}}$$1024=$
${{(-\frac{5}{9})}^{3}}$$-\frac{125}{729}=$
${{(\frac{1}{2})}^{9}}$$\frac{1}{512}=$
${{(-\frac{1}{2})}^{5}}$$-\frac{1}{32}=$
2- کدام عبارتهای زیر درست و کدام نادرستاند؟ توضیح دهید.
نادرست ${{(\frac{-5}{2})}^{2}}=-\frac{25}{4}$
$(\frac{-5}{2})\times (\frac{-5}{2})=+\frac{25}{4}$
نادرست ${{(\frac{5}{11})}^{0}}=0$
$1$
نادرست ${{\left[ {{(\frac{2}{3})}^{3}} \right]}^{5}}={{(\frac{2}{3})}^{8}}$
${{(\frac{2}{3})}^{15}}$
درست ${{(\frac{2}{7})}^{4}}\times {{(\frac{3}{5})}^{0}}={{(\frac{2}{7})}^{4}}$
${{(\frac{2}{7})}^{4}}\times 1={{(\frac{2}{7})}^{4}}$
نادرست ${{10}^{3}}\times {{10}^{4}}={{10}^{12}}$
${{10}^{7}}$
درست ${{(-2)}^{3}}\times (-2)=16$
${{(-2)}^{4}}=(-2)\times (-2)\times (-2)\times (-2)=+16$
3- حاصل هر عبارت را به صورت عددی تواندار بنویسید.
${{3}^{6}}$${{(\frac{1}{3})}^{4}}\times {{3}^{10}}=$
$\frac{{{5}^{2}}}{{{6}^{2}}}={{(\frac{5}{6})}^{2}}$$\frac{{{5}^{6}}\times {{6}^{3}}}{{{5}^{4}}\times {{6}^{5}}}=$
${{x}^{2}}\times {{y}^{2}}={{(xy)}^{2}}$$\frac{{{x}^{7}}\times {{y}^{4}}}{{{x}^{5}}\times {{y}^{2}}}=$
4- در جاهای خالی عدد مناسب بگذارید.
${{3}^{5}}\times {{3}^{4}}={{3}^{9}}$
${{({{7}^{4}})}^{2}}={{7}^{8}}$
$\frac{{{7}^{6}}\times {{7}^{2}}}{{{7}^{3}}}={{7}^{5}}$
${{(\frac{2}{3})}^{7}}\div {{(\frac{2}{3})}^{5}}={{(\frac{2}{3})}^{2}}$
$\frac{{{(-6)}^{8}}}{{{(-6)}^{5}}}={{(-6)}^{3}}$
5- عددهای زیر را از کوچکترین تا بزرگترین و به ترتیب از چپ به راست مرتب کنید.
${{6}^{5}},{{1}^{12}},-{{4}^{3}},{{(-1)}^{5}},0,{{(\frac{1}{2})}^{5}}$
$-{{4}^{3}},{{(-1)}^{5}},0,{{(\frac{1}{2})}^{5}},{{1}^{12}},{{6}^{5}}$
${{6}^{5}}=6\times 6\times 6\times 6\times 6=7776$
${{1}^{12}}=1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1\times 1=1$
$-{{4}^{3}}=-(4\times 4\times 4)=-64$
${{(-1)}^{5}}=(-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)=-1$
${{(\frac{1}{2})}^{5}}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{32}$
6- کدام تساویهای زیر درست و کدام نادرستاند؟
نادرست ${{(\sqrt{5})}^{2}}=25$
درست ${{(\sqrt{5})}^{2}}=5$
درست ${{(\sqrt{5})}^{2}}={{(-\sqrt{5})}^{2}}$
نادرست $+\sqrt{5}=-\sqrt{5}$
7- حاصل عبارتهای زیر را به دست آورید.
$-{{(10)}^{6}}$${{(-{{10}^{2}})}^{3}}=$
${{(-10)}^{6}}$${{\left[ {{(-10)}^{2}} \right]}^{3}}=$
$({{x}^{8}}{{y}^{12}})$${{({{x}^{2}}{{y}^{3}})}^{4}}=$
${{({{x}^{4}})}^{5}}={{x}^{20}}$${{(\frac{{{x}^{7}}}{{{x}^{3}}})}^{5}}=$
${{(-12)}^{5}}\div {{(+6)}^{5}}={{(-2)}^{5}}$$\left[ {{36}^{5}}\div {{(-3)}^{5}} \right]\div \left[ {{(-2)}^{5}}\times {{(-3)}^{5}} \right]=$
8- نصف ${{2}^{9}}$ و ربع ${{4}^{7}}$ را به صورت عددهای تواندار بنویسید.
نصف یعنی تقسیم بر 2 ${{2}^{9}}\div 2={{2}^{8}}$
ربع یعنی تقسیم بر 4 ${{4}^{7}}\div 4={{4}^{6}}$